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| Title: | Lineare Binärcodes. | |
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Das Shannonsche Theorem
Wir haben im letzten Kapitel festgestellt, dass der Code aus Bsp.1 eine geringere Bitfehlerrate hat als der aus Bsp.2. Uns interessiert natürlich jetzt, wie klein man die Bitfehlerrate maximal machen kann, da wir ja einen Code mit möglichst kleiner Bitfehlerrate und damit Fehlerwahrscheinlichkeit entwerfen möchten. Aufschluss über diese Frage gibt uns das Shannonsche Theorem. Dieses besagt, dass man die Bitfehlerrate beliebig klein machen kann, solange die Effizienz des Codes kleiner als die Kapazität des Kanals ist,Definition: C(p)=1+p*ld(p)+(1-p)*ld(1-p) (p : Wahrscheinlichkeit, dass 1 Bit falsch übertragen wird)
Dabei ist ld der Logarithmus dualis, also der Logarithmus zur Basis 2
Verlauf der Kapazität
Shannon-Theorem: Falls R < C(p) und n hinreichend groß, so gibt es für ein beliebiges e > 0 einen Binärcode mit der Effizienz k/n >= R mit der Fehlerwahrscheinlichkeit Perr < e.
Im Grenzfall bedeutet das, dass man zu jedem Code mit Effizienz R < C noch einen Code mit R* > R und R* < C finden kann. Dass man nach größtmöglicher Effizienz strebt, liegt daran, dass bei größerer Effizienz (und damit auch größerem k bei festem n) die Bitfehlerrate abnimmt (k steht im Nenner). Auf der anderen Seite gibt das Shannon-Theorem an, wieviel Kontrollbits minimal zu der Information hinzugefügt werden müssen. Dies ist natürlich abhängig von der Störanfälligkeit des Kanals, was aber bereits in der Kapazität berücksichtigt ist.
Ausblick
Die Codierungstheorie nimmt immer größeren Einfluss auf unser tägliches Leben. Sie findet sich sogar in Branchen, die überhaupt nichts mit der Informatik als solches zu tun haben, z.B. in Form der ISBN im Buchwesen. Man will gegen eventuell auftretende Fehler bestmöglich gerüstet sein. Es ist zu erwarten, dass sie in Zukunft in noch viel mehr Bereichen unseres Alltags einziehen wird.Literatur
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Theoretische Informatik, CD-ROM Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen von Pearson Studium | |
| Siehe auch: | |
| Theoretische Philosophie, Teil 4 (Reihe: uni auditorium) Die Wirklichkeit der Person (Länge: ca. 53 Min.) von Prof. Dr. Godehard Brüntrup (in DVD & Blu-ray) | |
| Euro-Fahrschule 2003, 1 CD-ROM Zur optimalen Vorbereitung auf die theoretische Führerscheinprüfung. Für Windows 95/98/NT 4/2000/Me/XP von Sybex (in Software) | |
| Klassenmusizieren als Musikunterricht!?: Theoretische Dimensionen unterrichtlicher Praxis Beiträge des Münchner Symposions 2005 von Hans-Ulrich Schäfer-Lembeck (in Musikinstrumente & DJ-Equipment) | |
| Matthias Varga von Kibed: Theoretische Grundlagen systemischen Denkens - 3 CDs 127C (Audio CD (in Musik) | |
| Theoretisch gut von 7Faces (in MP3-Downloads) | |
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