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| Title: | Lineare Binärcodes. | |
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Fehlerwahrscheinlichkeit und Wortfehlerrate
Beim Dekodieren mit Hilfe des Standardfeldes wird immer ein Fehlervektor angenommen, der zugleich Klassenanführer ist. Ist der tatsächliche Fehlervektor jedoch kein Klassenanführer, so kommt ein Dekodierungsfehler zustande und der Dekoder gibt ein falsches Codewort aus. Es ist offensichtlich, dass einige Informationsbits trotzdem korrekt sein können, das dekodierte Wort als ganzes jedoch nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Dekodierungsfehler auftritt, nennt man Fehlerwahrscheinlichkeit bzw. Wortfehlerrate. Sie berechnet sich durch
Bsp.:
Für den Code aus Bsp.2 ist a0=1, a1=3 und somit Perr=1-(1-p)4-3p(1-p)3=0,0103 wenn p=1/100Für den Code aus Bsp.1 ist a0=1, a1=6, a2=1 und somit Perr=1-(1-p)6-6p(1-p)5-p2*(1-p)4=0,00136 wenn p=1/100
Bei der Fehlererkennung macht der Dekoder genau dann einen Fehler (d.h. er akzeptiert ein Codewort, was aber nicht dem gesendeten entspricht), wenn der Fehlervektor selbst ein von Null verschiedenes Codewort ist. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass durch die fehlerhafte Übertragung ein Codewort in ein anderes übergeht, also:
Bsp.:
Für den Code aus Bsp.2 ist A0=1, A1=0, A2=1, A3=2 und somit Perr=p2(1-p)2+2p3(1-p)=0,00009999 wenn p=1/100 .Die Bitfehlerrate
Wir haben vorhin festgestellt, dass durch eine fehlerhafte Dekodierung einige Informationsbits trotzdem korrekt sein können. Demnach ist es zweckmäßig, eine andere Fehlerwahrscheinlichkeit als die obige zu definieren, welche die einzelnen Bits als zu untersuchendes Objekt wiedergibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Informationsbit fehlerhaft dekodiert wird, nennen wir die Bitfehlerrate. Sie ist definiert als Psymb=1/k*Summe(f(e)Prob{e}), wobei f(e) die Anzahl der fehlerhaft dekodierten Informationsbits eines bestimmten Fehlervektors e angibt. Diese einzelnen Wahrscheinlichkeiten addiert über alle Fehlervektoren und durch die Anzahl k der Informationsbits dividiert ergibt die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit fehlerhaft dekodiert wird. Es gilt ferner Perr/k <= Psymb <= Perr, d.h. die Wortfehlerrate Perr ist nicht unabhängig von der Bitfehlerrate Psymb.Bsp.:
Für den Code aus Bsp.2 ist- f(e)=0, falls e in der ersten Spalte des Standardfeldes
- f(e)=1, falls e in der zweiten oder dritten Spalte
- f(e)=2, falls e in der vierten Spalte
Für den Code aus Bsp.1 ist Psymb=0,00072 wenn p=1/100.
Wir sehen also in beiden Fällen deutlich, dass Psymb <= Perr.
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